Segue um negócio legal que estive vendo com uns colegas e que resolvi postar aqui para estender a discussão a outros colegas. Trata-se da verificação do fato de o operador inversão (para alguns, paridade) [tex]\Pi[/tex] ser hermitiano (ou não). Não sei a que ponto isto é algo "diferente", mas achei bem interessante.

Vamos partir de uma definição que pode ser a mais natural que poderíamos ter:

 [tex] \left\langle x \right| \Pi = \left\langle -x \right| \, ,[/tex]

em que [tex]\left| x \right\rangle[/tex] é a base usual do operador [tex]X[/tex], ou seja, [tex]X \left| x \right\rangle = x \left| x \right\rangle[/tex] para todo [tex]x \in \Re[/tex]. Quando usamos a notação [tex]\left| y \right\rangle[/tex], estamos simplesmente nos referindo a um outro autovetor do operador [tex]X[/tex], isto é, [tex]X \left| y \right\rangle = y \left| y \right\rangle[/tex]. Comento que esta definição seria natural porque gostaríamos que este operador, atuando sobre um estado [tex]\left| \psi \right\rangle[/tex], invertesse sua coordenada [tex]x[/tex],

[tex] \left\langle x \right| \Pi \left| \psi \right\rangle = \left\langle -x \left| \psi \right\rangle = \psi (-x) \, .[/tex]

Da definição, podemos então calcular os elementos de matriz [tex]\Pi_{xy}[/tex],

 [tex] \Pi_{xy} = \left\langle x \right| \Pi \left| y \right\rangle = \left\langle -x \left| y \right\rangle = \delta (x+y) \, .[/tex]

Também segue que [tex]\Pi_{xy} = \Pi_{yx}[/tex]. Estes elementos então são dados pela distribuição [tex]\delta[/tex]. A aplicação de [tex]\Pi[/tex] em um vetor da base [tex]\left| x \right\rangle[/tex] deve alterar [tex]\left| x \right\rangle[/tex] de alguma forma, mas que possa ser escrita como uma combinação dos vetores [tex]\left| y \right\rangle[/tex], cujos coeficientes são dados por [tex]\Pi_{xy}[/tex]. Precisamente,

[tex] \Pi \left| x \right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dy \, \Pi_{xy} \, \left| y \right\rangle \, .[/tex]

Este novo vetor, [tex]\Pi \left| x \right\rangle[/tex], pode ter diversas componentes. A componente em um certo vetor de base [tex]\left| z \right\rangle[/tex] usando o produto interno

[tex] \left\langle z \right| \Pi \left| x \right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dy \, \delta (x+y) \, \left\langle z \left| y \right\rangle[/tex]

[tex] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dy \, \delta (x+y) \, \delta (y - z) = \delta^K_{z,-x} \, ,[/tex] 

em que [tex]\delta^K_{mn}[/tex] é o delta de Kronecker ([tex]1[/tex] se [tex]m=n[/tex], [tex]0[/tex] se [tex]m \neq n[/tex]). Portanto, a única componente não nula do produto [tex]\left\langle \omega \right| \Pi \left| x \right\rangle [/tex] é quando [tex]z = -x[/tex]. Portanto,

[tex]\Pi \left| x \right\rangle = \left| -x \right\rangle \, .[/tex]
 
Um vetor de estado, denotado por [tex]\left| \psi \right\rangle[/tex] (não autovetor de [tex]X[/tex], mas da hamiltoniana de algum sistema em estudo), pode ser descrito como
 
[tex] \left| \psi \right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi (x) \, \left| x \right\rangle \, , [/tex]
 
com [tex]\psi(x)[/tex] sendo a função de onda associada a este estado (projeção nos diversos vetores [tex]\left| x \right\rangle[/tex]). A aplicação de [tex]\Pi[/tex] sobre este vetor [tex]\left| \psi \right\rangle[/tex] pode ser escrito como
 
[tex]\Pi \left| \psi \right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi (x) \, \Pi \left| x \right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi (x) \, \left| - x \right\rangle [/tex] 
 
A expressão anterior nos informa sobre o vetor [tex]\Pi \left| \psi \right\rangle[/tex], o que significa que podemos calcular a projeção em todos os vetores [tex]\left| x \right\rangle[/tex]. Assim,
 
[tex] \left\langle z \right| \Pi \left| \psi \right\rangle =  \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi (x) \, \left\langle z \left| - x \right\rangle = \psi (-z) \, ,[/tex] 
 
que é exatamente a definição inicial (ufa... Embaraçado).

Bom, é isso. A que conclusão chegamos com isto? Comente se encontrar algum erro, por favor.