Um exercício marcante em Teoria de Grupos

17 de Abril de 2009, por Desconhecido - 1Um comentário

Em 2007, assisti (não matriculado) às aulas de Teoria de Grupos  dos professores Djalma Redondo e Esmerindo Bernardes (respectivamente, trataram de grupos finitos e contínuos). Lembro até hoje de um exercício que vi na lista de grupos finitos que me interessou muito. Durante um bom tempo, eu e meu colega Brenno tentamos provar que o resultado que deveria ser provado estaria, na verdade, errado. Ao final de alguns dias, me veio uma prova notável. Resolvi divulgá-la aqui principalmente porque nunca a vi em livros de Teoria de Grupos. Supõe-se, é claro, algum conhecimento básico em Teoria de Grupos.

Vou apresentar o exercício em forma de uma definição seguida de uma proposição, nada de enunciados (mesmo porque, o enunciado não era exatamente claro). No que se segue, [tex]\circ[/tex] é uma operação entre dois conjuntos (binária).

DefiniçãoUm conjunto [tex]F[/tex] não vazio é dito estável sob [tex]\circ[/tex] se [tex]\circ F^2 = F[/tex].

Por [tex]\circ F^2 = F[/tex] queremos dizer que para todo [tex]c \in F[/tex], existem [tex]a,b \in F[/tex] que satisfazem [tex]c = a \circ b[/tex]. Segue então um resultado realmente notável!

ProposiçãoSejam [tex](G,\circ)[/tex] um grupo finito e [tex]F[/tex] um subconjunto não vazio de [tex]G[/tex], estável sob [tex]\circ[/tex]. Então, [tex](F,\circ)[/tex] é grupo.

Podemos verificar a importância de que o grupo seja finito notando que [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] é grupo, [tex]+ \mathbb{N}^2 = \mathbb{N}[/tex], mas [tex](\mathbb{N},+)[/tex] não é grupo (sabe o porquê?).

ProvaComo [tex]F[/tex] é estável sob [tex]\circ[/tex], [tex]F[/tex] é fechado segundo [tex]\circ[/tex]. Como [tex]F \subset G[/tex], [tex]\circ[/tex] é associativa nos elementos de [tex]F[/tex] (estes dois últimos resultados são frequentemente demonstrados nas referências boas de Teoria de Grupos). Vamos definir:

[tex]b_k \, \, := \, \, \circ_{j=1}^k \alpha[/tex] ,

com [tex]\alpha \in F[/tex]. Seja ainda [tex]n[/tex] a ordem de [tex](G,\circ)[/tex]. Denotamos por [tex]\circ_{j=1}^k \alpha[/tex] a seguida composição [tex]\alpha \circ \alpha \circ \alpha \dots[/tex], k vezes. Vamos dividir o raciocínio nos seguintes casos particulares.

(i) Se [tex]b_2 = \alpha[/tex], então [tex]\alpha[/tex] é a identidade. Como [tex]\alpha \in G[/tex] e [tex](G,\circ)[/tex] é grupo, [tex]\alpha[/tex] é único. A solução de [tex]\ell \circ m = \alpha[/tex], [tex] \ell \in F[/tex] resolve a inversa de [tex]m \in F[/tex]. 

(ii) Se [tex]b_k = \alpha[/tex] com [tex]k < n[/tex] , então [tex]b_{k-1} \circ \alpha = \alpha[/tex]. Portanto, [tex]b_{k-1}[/tex] é a identidade. Repete-se a condição para a inversa.

(iii) Se para nenhum [tex]k < n[/tex] ocorre (ii), então certamente [tex]b_{k+1} = \alpha [/tex] e [tex]b_k[/tex] será identidade. Se isto não ocorrer, ou [tex](G,\circ)[/tex] não é grupo ou [tex]F[/tex] tem mais de [tex]n[/tex] elementos, o que viola as premissas.

Como isso vale para toda cadeia formada para todo [tex]b(f,k) := \circ_{j=1}^k f \quad \forall f \in F[/tex], necessariamente [tex]F[/tex] forma grupo, pois ele satisfaz aos três axiomas (associatividade, existência da identifidade e existência da inversa para todo elemento).

Por fim, e possivelmente para compreender melhor os passos, note que se [tex]b_k = b_2[/tex], então [tex]b_k = \alpha \circ \alpha[/tex]. Mas [tex]b_{k-1} \circ \alpha = b_k = \alpha \circ \alpha[/tex], o que implica em [tex]b_k = \alpha[/tex]. Se [tex]b_k = b_j[/tex], então [tex]b_{k-j} = \alpha[/tex], com [tex]j>2[/tex], logo [tex]b_{k-j-1}[/tex] é identidade. Note, por último, que isso só vale se [tex]a \circ b[/tex] for único, o que não é nenhum requisito absurdo.

O que você achou das caixas para a definição e para a proposição? Ficaram boas?

Atualização:
18.04.09 :: Por sugestão do Thiago Fonseca, adicionei o significado de [tex]\circ F^2 = F[/tex].

 



E você, quantos seguidores tem?

16 de Abril de 2009, por Desconhecido - 0sem comentários ainda

Conhece o Twitter? Usa? Então ai vai a pergunta... Quantos seguidores você tem? 10? 100? 200? 300?

A CNN e o Ashton Kutcher estão competindo para descobrir quem consegue chegar a um milhão de seguidores primeiro. Outros tentaram entrar na disputa, mas estão longe de ganhar. Entre eles, estão Oprah e Britney Spears.

Veja a disputa em tempo real neste site: http://www.huffingtonpost.com/2009/04/16/ashton-kutcher-vs-cnn-twi_n_187835.html

Eu estou seguindo só a CNN, mas nada contra o Kutcher: eu simplesmente não quero interferir. Eu realmente acho que o Kutcher vai ganhar com certa vantagem... Aliás, existem usuários relatando erros ao tentar seguir o Kutcher (não sei quanto à CNN). Dizem que ao pedirem para tornarem-se seguidores do Kutcher, o twitter não efetua a tarefa. Será que tem algo a ver com a quantidade de chamadas que está ocorrendo?! Aliás, note o video a seguir: trata-se de uma campanha!



Se você estiver torcendo pelo Kutcher ou pela CNN, corra: ambos estão quase com um milhão de seguidores! Uma dica: @aplusk ou @cnnbrk.
 



Sai telefônica, entra Skype!

13 de Abril de 2009, por Desconhecido - 33 comentários

 
Eu tinha tenho (talvez até pouco tempo) um telefone fixo (serviço da Telefônica) aqui em São Carlos, que ficava de enefeite a maior parte do tempo em minha mesa, e praticamente só tocava quando...
  1. meus pais ligavam e estavam cansados demais para entrar no Skype;
  2. o Melancia me ligava para combinarmos um jogo de tabuleiros;
  3. quando minha namorada testava o Oi dela.
Meu Skype sempre foi meio solitário, as pessoas em geral preferem o MSN da Microsoft. Nada contra a empresa, mas acho que me cansei de ficar horas digitando. Pode ser não apenas um enjôo, mas convenhamos: naquele momento em que estamos trabalhando, sempre dá para ficar teclando com alguém. E nessa acabamos por nos desconcentrar. Se tivermos que conversar com a pessoa, teremos que parar o que estamos fazendo para só falar com a pessoa, o que significa uma interrupção no trabalho. Portanto, o Skype acaba despertando melhor meu senso de dever e eu acabo por perder menos tempo útil.
 
O meu antigo plano trabalha com R$ 0.80 / minuto de ligação. Por uma mensalidade menor, pude assinar o pacote Brasil 400, que permite ligação para qualquer fixo brasileiro sob tarifa de R$ 0.04 / minuto. A compra do pacote confere 400 minutos de crédito e fornece um desconto na obtenção do número on-line. Este número funciona como um número de telefone fixo para todos os efeitos, mas quando é chamado por algum telefone ele toca no seu Skype. Se você estiver off-line, a secretária eletrônica é ativada. Se estiver conectado (não importanto em que local), seu Skype irá tocar sempre que qualquer fixo chamá-lo. Ou seja, praticamente não perdemos nada.
 
Algo legal também está no fato de que a conta pode ser desfeita a qualquer momento, sem qualquer tipo de multa [1]. Eu verifiquei muito bem isto antes de pedir a conta, para testar bem a conta durante o primeiro mês. Afinal, são 400 minutos!!! Para quem só recebia ligações à toa, é muita coisa para usar. Também há a possibilidade de definir um número para repasar as ligações no caso de estar desconectado (para este começo, defini o próprio número da telefônica como repasse). Claro que todas estas informações estão no site do Skype e não caracterizam nada de mais, no mais sincero que posso ser. Mas daí para assinar a conta existe um grande passo: vencer a dúvida sobre a qualidade do sistema. Nesse quesito, tenho ainda dúvidas que não pude resolver por definitivo. Seguem duas delas.
 
Sempre que usei com Linux (testei em Fedora 10 e Ubuntu 8.10), a ligação apresentava um delay de 3s a 10s. Sim, sem exageros, 10s. O intrigante é o fato de o delay só ocorrer para o que está no fixo. Quando o que está no fixo fala, não há delay realmente considerável. Mas quando o que está no Skype fala, ocorre esse delay exagerado.
 
Como configurar em reais os preçosNão seria tão intrigante se esse problema não seguisse na minha segunda dúvida: no Windows (XP, com Skype em versão desatualizada) esse problema não existe. Muito pelo contrário, a ligação ocorre com mesma  "velocidade" que quando estamos falando fixo-fixo. Menos objetivamente, há quem diga que a qualidade do som (clareza com que ouvimos o que fala pelo Skype) é melhor do que a ligação fixo-fixo.
 
Para finalizar, os créditos que ainda restam em sua conta são disponibilizados em sua conta no site do Skype, exibidos em minutos mesmo. Há a possibilidade de o Skype exibir os preços de seus produtos em reais, por isso fique esperto: confira bem os preços antes de qualquer coisa. Todas as transações só podem ser realizadas com cartões internacionais (se não me engano). Acho que tudo isso apresentado torna o Skype na verdade uma opção como sistema de telefonia absoluto (embora meu celular vá continuar comigo, Inocente).
 
Há quem já comentou comigo que o problema citado sobre o Linux trata-se provavelmente de algo ligado ao novo pulse, introduzido tanto no Fedora 10 como no Ubuntu 8.10 (ou em versões anteriores). Se você tiver mais informações, poste comentários.

Notas:

  • [1] - Lembrando que este detalhe é reflexivo: o Skype também o pode fazer.

Restringi aos usuários do sistema a visualização das imagens. Caso você não seja usuário do Stoa e queira vê-las, entre em contato.



Mais sobre o problema do Firefox com a Plataforma Lattes

7 de Abril de 2009, por Desconhecido - 0sem comentários ainda

Vou começar usando a técnica de reflexão em um artigo do Wikipédia: definição em português do navegador Iceweasel e em que contexto foi introduzido no sistema Debian.

Iceweasel é um browser para a Internet de código aberto exclusivamente destinado às distribuições Linux baseadas no Debian. É idêntico ao Mozilla Firefox, que não pode ser distribuido juntamente com o Debian por ter a marca e o ícone patenteados pela Fundação Mozilla, uma vez que o conteúdo distribuído com o Debian deve ser totalmente livre. O nome foi proposto por oposição ao significado da palavra Firefox (literalmente, "raposa de fogo", um dos nomes do panda vermelho). "Iceweasel" significa literalmente "doninha de gelo".

Marca do IceweaselDe fato, alguns colegas observaram que esse nome tem invadido os computadores com Debian, embora sem parecer causar muitos transtornos: este novo navegador é idêntico ao Firefox. Aliás, quer ver como essa história é engraçada? Veja a marca (não de registro, oras) desse novo navegador (ao lado, clique para ambpliar).

É bem parecida com a do Firefox, né? De qualquer forma, comentei sobre um problema recorrente em um artigo anterior que ocorre quando usamos o Firefox (E o Iceweasel) acessa a plataforma lattes para edição do currículo.

Após a publicação daquele outro texto, uma colega me contactou (em resposta ao meu pedido de verificação se no Ubuntu o problema também existia). O que ela escreve é muito interessante, e por isso segue uma pequena parte:

Tive alguns problemas em alguns sites, falta de compatibilidade, e para resolver instalei a extensão do firefox chamada "User Agent Switcher".

Isso dentro do ambiente Debian 5.0 que ela acabara de instalar em algumas máquinas. Como estou com o Fedora, preferi nem tentar este novo navegador (o Ubuntu também está usando este navegador?).

A extensão a que ela se referia pode ser encontrado (e baixado) aqui.Esta extensão faz com que o navegador possa operar como outros dois para locais em específico. Um exemplo de aplicação, ilustrada por um vídeo, pode ser encontrada nesse vídeo do Youtube.

Esta é uma opção extra àqueles que não gostam muito do Opera (que, aliás, não são poucos). Se precisar de ajuda, visite esta página para suporte.

Estamos escrevendo um artigo mais detalhado para por no LeGauss, em breve tentaremos publicá-lo. Tem comentários? Por favor, poste-os!



Firefox vs Plataforma Lattes

3 de Abril de 2009, por Desconhecido - 33 comentários

Tenho tido problemas desde as últimas atualizações do Firefox com a visualização da Plataforma Lattes (momento de edição). Veja a figura abaixo para entender.

Após googlar sobre o assunto e testar diversas soluções (que funcionaram para outros usuários), passei para o próximo passo mais natural: trocar de navegador. Optei por testar um navegador com o qual já tive alguma experiência boa: Opera.

Além de um belo visual (diferente da vez em que o testei), ele pareceu bem estável. Continua com a abertura clássica, com os links rápidos (quadros que armazenam seus endereços favoritos). Ah, e também acertou a visualização de meu currículo : )

Importante: isto funcionou em meu computador de trabalho, que roda o Fedora 10. Assim que eu puder, testo no Ubuntu. Alguém aí sabe se no Windows esse problema também acontece?

Se você conhecer outra solução que funcionou com você, poste-o como comentários!

Por fim, Fedora 10 está funcionando perfeitamente: recomendo a quem só vai utilizá-lo para programar e escrever seus trabalhos (especialmente o LaTeX!).